数学课程标准解读 | 27 数学建模、数学应用与创新思维的关系
来源：玩游戏学数学
数学课程标准解读 | 27 数学建模、数学应用与创新思维的关系
[课标原文]
三、课程目标
(一)核心素养内涵
2.在小学与初中阶段的主要表现
核心素养的主要表现及其内涵如表1。
从课程标准的角度讲，模型意识和模型观念，前者对应的是小学阶段，后者对应的是初中阶段。模型意识跟实际生活联系要更紧密，而模型观念相对更抽象，比如方程、不等式、函数等等，这意味着数学抽象化程度的提高。
应用意识和创新意识，这两者做了一点点区分。小学、初中都要强调应用意识，主要强调数学学习与实际生活、生产实践之间的联系，也就是传统上所强调的12个字，数学“源于生活、寓于生活、用于生活”。但是我们前面曾讲过这是有局限性的。
创新意识跟应用意识有什么区别？创新意识不仅强调跟实际生活、生产实践的联系，它更强调在日常生活、自然现象或科学情境当中发现或提出有意义的数学问题的能力。发现问题、提出问题，在课标组看来应该跟创新有关。
这些说法整体来讲没有什么大问题，我只是觉得有一些相互割裂，它们相互之间到底是什么关系？特别是模型、应用、创新跟课标所提到的“三个学会”之间到底是什么关系？我认为一定是不能割裂来理解。包括前面提到的所有的核心素养跟三个学会之间都不能割裂来理解。而模型、应用、创新强调与实际生活、生产实践之间的关系，就更不能与“三个学会”割裂来理解。
我们简单回忆一下“三个学会”——“学会用数学的眼光观察现实世界，会用数学的思维思考现实世界，会用数学的语言表达现实世界”。
前面已经讲过，数学的眼光其实是指学习者已有的经验或者已有的观念，而不是生物学和物理学意义上的眼光。用数学的眼光观察生活世界，重点是要有认知冲突，也就是遭遇问题、提出问题。
用数学的思维思考现实世界，最重要的就是要化解认知冲突。其中包含两个方面，一个方面是化解认知冲突，儿童必须调动自己已有的经验和观念。另一方面强调学习的社会性，化解认知冲突一定是在对话当中完成，在与同学、老师，与他者对话的过程中完成，最后达成新的临时性共识，也就是新观念、新经验。
学会用数学的语言来表达现实世界，对于学习者而言，数学的语言不是客观的从数学书或者从其他的地方找来的“话语”，而是通过数学学习建构生成的数学观念，是我们自己拥有的数学语言。而相对于最开始的“看”，这些数学语言水平提高了。正是因为水平提高了，才有能力去重新阐释生活世界，其实这就是应用。应用是两个方向的应用，一个方向是实践应用，跟生活实际联系比较紧密，解决实际生活中的问题。另一个方向是理论应用（也是应用），应用已有观念沿着形式化的方向进行理论上的新建构、新创造、新发明，就是理论数学。
中国当下对于实用数学比较重视，理论数学这类基础学科（还包括物理、化学、生物等自然科学）并没有得到重视。因为在数学、自然科学偏实用的领域，可以“刀下见菜”马上解决问题，所以这些年受到了国家的重视。而当下看上去没有什么用，偏理论性的基础学科领域上，中国人这么多年其实并没有取得真正像样的大突破。这也是国家现在已经意识到的问题，所以现在高考的招生改革，很多知名的大学都在有意识地朝基础理论方向有所侧重，试图发挥高考的指挥棒作用。
有了这样一个回顾，现在就可以更好地理解——
- 数学建模
首先，每一个建构生成的新数学观念其实都是一个模型。不要客观地理解模型，一定要站在学习者的立场上来理解数学课程标准里所说的模型。通过每一次对话，通过个人挑战建构生成的数学观念都叫数学模型。小到数字符号1、2、3，当然是模型。模型就意味着它具有某种意义上的普遍性。一头牛、一把椅子、一个人、一个石头、一根绳子是具体的，就不能将它理解为一个模型，但是数字1就可以理解为一个模型。只因它是如此的简单，我们往往忽视了它的模型的作用，不认为它是一个模型，好像只有方程、不等式、函数才是模型。我们学过的所有运算加、减、乘、除是不是模型呢？乘法是不是模型？我想大家现在都能理解，像价格模型、路程模型、工程模型，归根结底就是一个乘法模型。所以这些运算是更基础的模型。这是从数与代数的角度来讲。
如果从图形与几何的角度来讲也是一样的。某个图形——三角形或者圆形、四边形、正方形、平行四边形——其实就是一个几何模型。而并非一定是建筑设计师画出一个图，或者用火柴棍搭一个东西摆在那，才叫几何模型。任意一个被抽象出来的类别，对类别的命名，都是一个模型。这并不是对模型的泛化，而是从数学学习和儿童认知发展的角度，更加本质地理解何为模型。
要将课标里面讲的模型和孩子们真实的学习历程建立理解上的联系。我们不能听着课标上讲的是这一套，等到备课、上课的时候，跟儿童相遇，我们说的却是另一套。否则课程标准就不能够起到课程标准的价值和意义，那样它就是空的、气泡化的，不能真实的来指导我们日常的教与学的工作。所以刚才的分析实际上就是试图要起到这样的作用，大家领会一下，这是第一点。
- 数学应用
刚才讲的应用意识，我们已经分析过了，当用数学的眼光观察生活世界，在这个过程中有没有应用？当然有应用。这就是用我们的已有的数学观念与生活的世界、生产实践遭遇，这其中当然有应用。当我们用已有的经验试图解决实际生活问题时，有一些顺利地解决了，应用的很顺利，而有一些应用的不顺利，这就叫认知冲突，所以在在新观念建构的起步阶段就已经涉及到了应用。
另一种我们通常所理解的应用，其实是三个学会里面的“用数学的语言表达生活世界”。所有的教材的安排和传统的理解，包括课标中某些地方也透露出这样的信息——当学会了一个数学的知识或建构生成了一个数学的观念，这个时候需不需要应用？当然需要应用。但是应用不是为了外在的目的，而是数学观念建构中必要的过程。如果少了应用的过程，就像金庸小说里的一个大侠买了一把新的兵器，还不能够灵活自如地应用。那就意味着刚刚建构生成的新的数学观念没有应用，数学观念的建构就不牢靠、不灵活。所以此时的应用并不是为了一个外在的目的，而是学习者的观念建构过程中必不可少的、必要的过程。
既是为了自己观念建构的目的，若一个人的个体性、个体价值发挥得比较好，同步也会自然而然地带来社会价值。在运用你的观念去解决实际生活中的问题时，今天你只是一位学习者，可能很难看出有什么样的社会价值。但是经过不断的练习，等到了高中、大学，再进入到一个专业的领域，就会逐步地、自然而然地显现出社会价值来。这就所谓的社会应用、实际应用的价值。
因为新观念的应用有两个领域，一个是实践领域，一个是纵向的理论领域。我想补充的是，在理论领域的应用也是很重要的应用，并不是说只有跟实际生活相结合才叫应用。有时跟实际生活好像联系没那么紧密，但也是应用。而且这一点不能被忽视，也是今天我们中国当下的大学教育、大学数学教育所缺乏的东西。
- 创新思维
创新与“三个学会”中的第一个“学会”有没有关系？有关系。因为第一个学会里面就会涉及到遭遇认知冲突。遭遇认知冲突，如何去准确地描述、表达、提出、分析认知冲突，这其实就是提出发现问题或提出问题，这当然意味着创新。爱因斯坦讲“提出一个问题比解决一个问题更重要”。
与第三个“学会”有没有联系？有。第三个“学会”是“用数学的语言去表达生活世界”，其中当然有创新，当用新观念无论去解决实践当中的问题还是解决理论领域当中的问题，这都属于创新。
我想特别强调的是，按照“玩游戏学数学”所讲的“发明数学、创造数学”，我们就会意识到在第二个“学会”（“用数学的思维去思考生活世界”）的过程当中，我认为化解认知冲突、建构生成新观念的过程对于中小学学生而言是真正的创造、创新。每一个新的数学观念都是基于孩子的原有观念经过课堂对话，被发明、创造出来的（而不是被动地等待老师来灌输，或者把教材当中的公式、定理、定义一股脑地背下来、记下来），这才是对于中、小学学习者最有价值和意义的创造与发明。唯有以创造发明的方式去学习、去建构、去培养、去生长，未来才有可能具备创造发明的能力。而不是像我们传统教育，从来都没有经历过创造和发明这样的学习，突然有一天大学毕业了，我们非常惊愕地发现——年轻人为什么一点创新意识都没有？这是很荒谬的，这是不好的教育方式带来的很奇葩的现象。
我们大致地把模型意识、模型观念、应用意识和创新意识合在一起，梳理了一下。它们应该结合起来理解。
数学课程标准解读 | 11 如何通过“三个学会”理解数学核心素养
数学课程标准解读 |08 怎样的评价可以有效促进学生的数学学习
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