数学课程标准解读 | 11 如何通过“三个学会”理解数学核心素养

来源：玩游戏学数学 

数学课程标准解读 | 11 如何通过“三个学会”理解数学核心素养

[课标原文]

三、课程目标

(一)核心素养内涵

1.核心素养的构成

数学课程要培养的学生核心素养主要包括以下三个方面。

（1）会用数学的眼光观察现实世界

数学为人们提供了一种认识与探究现实世界的观察方式。通过数学的眼光，可以从现实世界的客观现象中发现数量关系与空间形式，提出有意义的数学问题；能够抽象出数学的研究对象及其属性，形成概念、关系与结构，能够理解自然现象背后的数学原理，感悟数学的审美价值；形成对数学的好奇心与想象力，主动参与数学探究活动，发展创新意识。

在义务教育阶段，数学眼光主要表现为：抽象能力(包括数感、量感、符号意识)、几何直观，空间观念与创新意识。通过对现实世界中基本数量关系与空间形式的观察，学生能够直观理解所学的数学知识及其现实背景；能够在生活实践和其他学科中发现基本的数学研究对象及其所表达的事物之间简单的联系与规律；能够在实际情境中发现和提出有意义的数学问题进行数学探究，逐步养成从数学角度观察现实世界的意识与习惯，发展好奇心、想象力和创新意识。

（2）学会用数学的思维思考现实世界

数学为人们提供了一种理解与解释现实世界的思考方式。通过数学的思维，可以揭示客观事物的本质属性，建立数学对象之间、数学与现实世界之间的逻辑联系；能够根据已知事实或原理，合乎逻辑地推出结论，构建数学的逻辑体系；能够运用符号运算、形式推理等数学方法，分析、解决数学问题和实际问题；能够通过计算思维将各种信息约简和形式化，进行问题求解与系统设计；形成重论据、有条理、合乎逻辑的思维品质，培养科学态度与理性精神。

在义务教育阶段，数学思维主要表现为运算能力、推理意识或推理能力。通过经历独立的数学思维过程，学生能够理解数学基本概念和法则的发生与发展，数学基本概念之间、数学与现实世界之间的联系；能够合乎逻辑地解释或论证数学的基本方法与结论，分析、解决简单的数学问题和实际问题；能够探究自然现象或现实情境所蕴含的数学规律，经历数学“再发现”的过程；发展质疑问难的批判性思维，形成实事求是的科学态度，初步养成讲道理、有条理的思维品质，逐步形成理性精神

（3）会用数学的语言表达现实世界

数学为人们提供了一种描述与交流现实世界的表达方式。通过数学的语言，可以简约、精确地描述自然现象、科学情境和日常生活中的数量关系与空间形式；能够在现实生活与其他学科中构建普适的数学模型，表达和解决问题；能够理解数据的意义与价值，会用数据的分析结果解释和预测不确定现象，形成合理的判断或决策；形成数学的表达与交流能力，发展应用意识与实践能力。

在义务教育阶段，数学语言主要表现为：数据意识或数据观念、模型意识或模型观念、应用意识。通过经历用数学语言表达现实世界中的简单数量关系与空间形式的过程，学生初步感悟数学与现实世界的交流方式；能够有意识地运用数学语言表达现实生活与其他学科中事物的性质、关系和规律，并能解释表达的合理性；能够感悟数据的意义与价值，有意识地使用真实数据表达、解释与分析现实世界中的不确定现象；欣赏数学语言的简洁与优美，逐步养成用数学语言表达与交流的习惯，形成跨学科的应用意识与实践能力。

如何理解“数学的眼光”以及对应的数学的“观察”和“现实世界”？

首先，数学的眼光不是我们的眼球依据物理的凸透镜原理在视网膜上的一个像，也不是从生物学的角度来谈视觉。根据前面几次的共读分析，我们会得到一个基本的共识：数学的眼光是学习者（儿童）已经拥有的经验，即已有经验，哲学上讲叫前有前见。这个时候就可以进一步地理解，什么是数学的观察。数学的观察就是儿童用自己的已有经验、前有前见，对于他所感受到的外部信息或者遭遇到的一个问题产生的前理解。

这样一来可以进一步地理解什么叫现实世界。它很显然不是通常的客观自然世界，当然它包括客观的自然世界，但最好替换成生活世界。一个学习者存在于其中的，就像海德格尔《存在与世间》所讲的，所牵起的一个因缘世界，它是一个生活世界。这个生活世界跟形形色色的客观物体、客观现象当然有关系，跟来自于书籍、文化、传统等已有文明的基本文化事实也密切相关。总之，肯定不能简单地过于狭隘地去理解为客观世界。它是跟一个学习者（儿童）相遇的形形色色的有形的事物、无形的观念的整体，我们可以称之为生活世界。对于生活世界当中的某一个（类）问题，形成了自己的前理解，这就是“学会用数学的眼光观察生活世界”。

一个3岁的儿童跟他的父母所观察到的生活世界一样吗？如果从客观性的角度来讲，好像是一样的一个生活世界，在同样的一个小区，同样的一个家庭生活，但儿童跟他的父母对于生活世界的理解是不一样的。在《玩游戏 学数学》里面也讲过，对于“圆”，3岁儿童怎么理解，5岁会怎么理解，8岁会怎么理解，12岁会怎么理解，15岁会怎么理解，一个成人会怎么理解，是不一样的。客观上是一样的现象，但是学习者的前理解不一样，就会产生教育学上的不同的认知冲突，而这个认知冲突会构成学习（教育）的起点。这是第一个“学会”，如果从这样的角度有了很好的领会，那么就会对第二个“学会”拥有领会。

第二个“学会”，“学会用数学的思维思考现实世界”。它跟前一个“学会”之间是什么关系？

前一个“学会”讲的是“学会用数学的眼光观察生活世界”，在观察地过程中，学习者如果是一个真正的主体，没有受到任何伤害，那么他对于天地万物，对于未知世界，总是充满了好奇和探索的欲望。比如一些儿童对于挖土、小昆虫、一朵花、一根树条等等都会忘掉一切投身其中，全神贯注。他是有兴趣的，这是自然而然的。只不过对于教育来讲，仅仅如此还不够，还要进入一个更加良好的互动，进入到有目的、有意识的良性教育氛围当中。我们可以通过对话有目的地引导孩子聚焦那些认知冲突，这是第一个“学会”真正要落实的。

有了认知冲突第二个“会用”就变得自然而然了，认知冲突才是数学思维启动的起点动力，才是数学思考得以可能的内在动力机制。把握住认知冲突是至关重要的，没有认知冲突哪来数学思考？没有数学思考也就没有数学教育。如果仍然是掰开了揉碎了去讲给孩子，无非还是灌输，还是把孩子当成容器，而没有把生命理解为火焰，一团渴望燃烧而且能够燃烧的火焰。所以数学思考的动力系统起点一定是认知冲突，而化解认知冲突的整个过程就是数学的思维过程。

我们的《玩游戏 学数学》至少把这个问题从程序帮大家梳理清楚了。老师通过每一节课前挑战单，把握住整个班级的典型认知冲突，课堂的起点就变成了以认知冲突来展开课堂对话。把不同孩子的不同理解——孩子之间的差异，变成有效的学习资源，而不是像过去那样，用唯一的客观标准去衡量，希望每个孩子都一模一样，都得100分。一模一样无非是用一个外在的客观尺度，试图达到某个目标的教育妄念，那是不可能实现的，一个班30个孩子怎么可能一模一样？假设他们都一样，那请问，教育的价值和意义是什么？

所以现在的这样一个转向——从知识中心、学科中心转向学习者为中心的课堂对话，就能够让不同孩子的不同理解成为有效的教育资源。如果大家的理解都一样，那就根本不可能有对话。如果没有差异还能对话，那只能是假对话、假热闹。正是因为孩子们的理解、认知有差异，对话才有可能，这才叫参差百态方为美，教育学上的参差百态。

这种对话，看上去只是两个孩子或者多个孩子之间的对话，但事实上真正有效的两人多人之间的对话，也一定意味着每一个孩子都在跟自己对话。我要聆听另外一个同学的发言，他呈现表达自己观点的时候，跟我到底有何不同，哪些不同是我支持的，哪些是我不支持的，在聆听对方回答的过程中，我又产生了与原来不同的新见解，而新见解跟对方也不一样，这个时候才要用语言来表达呈现我的理解和观点，这是课堂对话。

由于一些客观上的原因，我们经常体会到课堂对话不够充分。比如一节课只有40分钟，会有客观上的教学任务、教学目标的要求，等等。我自己上课也会有这种感觉，总是受制于时间等外在的因素。但是我们应该知道什么样的课堂状态才是真正的基于差异的、多元的、多维的，既是相互之间的，又是和自己的课堂对话。

通过这样的对话交流，每一个人都调整了自己的原有经验（原有的理解），哲学上讲的调整了自己的前有前见、前理解，进而达成新的理解，或者心理学上讲的达成了临时性共识，从学习的角度讲叫新观念。它一定是基于对话而诞生的。基于对话，每一个学习者都改变了自己的原有观念，让自己的原有观念提升、进化、生长到一个新的状态，这叫新观念的诞生。

在这个过程中，当然会用到运算能力、推理意识、推理能力。课标把推理意识和推理能力做了一点区分，推理能力相对于初中，特别是形式化的推理证明能力，早期你要做到每一步地运算，每一步地推理都应该有理由、有依据，相对应的推理意识可能相对于小学而言，在小学可以把它理解为推理意识，这当然是一个人为的区分，我认为这两者之间区分也可以体现了小学和初中的不同，但是不加区分，如果能够理解它的内涵，也是可以的。运算能力、推理意识、推理能力与数学思维、思考之间是什么关系？这是我们要明白的。

这样的基于认知冲突的课堂对话，达成临时性共识的数学思维过程，完全可以称之为数学创造的过程。这就是《玩游戏学数学》所强调的，要引导每一个儿童去发明数学、创造数学，像数学家一样地思考数学。这样的发明和创造不是无中生有，也不是闭门造车。它最重要的特征是基于自己的已有经验，基于认知冲突，相互对话，然后将自己的原有观念调整、跃迁到一个新的状态，诞生新观念。这样的数学学习过程称之为发明数学、创造数学，这也是我们从学科知识中心然后转成儿童学习中心的应有之意。

站在过去的学科中心，每一个公式、定理、概念定义，都在教材里面，既然已经有了，还怎么发明创造？显然和我们站在不同的逻辑当中，对这些问题的理解方式就不同。如果从客观的方式，当然不能称之为发明数学、创造数学，但也不能说是发现数学。难道说某个定理在教材里面躲着，数学学习的过程就是从教材当中找出来，这就叫数学学习？按照我们的理解，完全可以堂堂正正地讲，数学学习的过程就是发明数学、创造数学的过程。

但是它与发现数学也不矛盾，为什么这么讲呢？如果我们站在更长远的人类文明发展历程，人类意识演化的过程中，就会发现，从形式逻辑的角度，好像数学的某些公式、定理，牛顿的三大运动定律、万有引力定律，甚至爱因斯坦的狭义相对论、广义相对论，它就在一个形式逻辑的人类文明的系统中（不是在客观的物质世界），当人类发展到某个阶段，就会有一个非常聪明的人，在那个特殊的历史节点上跟伟大的定理相遇。抛开个体，甚至抛开一个民族，真正地站在人类理性演化的历程中去理解，你会有不同的体会。这是我想说的会用数学的思维思考现实世界。

第三个“学会”，“会用数学的语言表达现实世界”。课标把数学的语言又界定为数据意识、模型意识、应用意识。这都是非常重要的数学核心素养的内涵。数据意识对应的统计概率。模型意识（方程模型、函数模型、不等式模型等等）就是所谓的数学模型。应用意识就更广泛，用任何数学的定义、公理、法则、运算律去解决实际生活中的问题都是应用。所以课程标准把这三者统称为数学语言。

“会用数学的语言表达现实世界”，与前面两个学会之间到底有何关系？

如果我们对前两个学会有了非常好的领会，我们就知道，最好就把“数学的语言”理解为建构生成的新观念。你不能把数学语言理解别的东西。

第二个学会是“会用数学的思维思考现实世界”，我们用课堂对话来理解，也就是在课堂对话结束的地方要建构生成新观念。建构生成新的数学观念，这就是数学语言。

而新的数学观念是文字语言、图形语言、符号语言三者之间灵活的相互转化。很显然，从学习者学习的过程来讲，这样的理解要更合理。数学的语言就是建构生成的新观念。这个新观念，可以用文字语言，也可以用图形语言，也可以用符号语言表示。当然最好是这三者之间灵活的相互转换，这也构成了课程标准里面所讲的数学语言的真正的内涵。那么我们应用这样的新观念去解决问题，也就变成了“会用数学的语言表达现实世界”。这里我们把现实世界改成生活世界，我们进一步的可以改成数学观念的应用。

我前面反复在讲横向和纵向两个维度。横向的维度就是跟实际生活直接结合，我们建构生成加法的观念、减法的观念、分数的观念、方程的观念、函数的观念，我们当然可以应用它来解决实际生活当中的具体问题了，但是这跟实践生活密切相关。纵向的维度呢，我们建构生成的观念可能是抽象的、形式化的，基于反省抽象，我们完全可以沿着形式化的道路让它向着更高的、更抽象的形式化方向发展。也可以把它理解为一个理论的道路。

所以沿着横向的实践的道路，或沿着纵向的理论的道路，都叫“用数学的语言表达阐释生活世界”。在表达和阐释的过程中，我们当然可能会遭遇到新的认知冲突，这时候，自然而然就会进入到新的认知循环，开启新的认知旅程。

我想，这“三个学会”的提法是非常好的，但是它需要我们真正把握到它的内涵实质，否则只是在背概念。今天我们怎么样把这个课程标准转化成我们的从认知，特别是从教学实践的角度，转化成我们的营养。

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