数学课程标准解读 | 02 如何研究数学问题？

来源： 玩游戏学数学 

数学课程标准解读 | 02 如何研究数学问题？

[课标原文]

一、课程性质

……基于抽象结构，通过对研究对象的符号运算、形式推理、模型构建等形成数学的结论和方法，帮助人们认识、理解和表达现实世界的本质、关系和规律……

第二个问题，如何研究数学问题？

这段话里面说，数学“对于研究对象”（数量关系、空间形式）进行研究，要通过“符号运算、形式推理、模型构建”。通常最重要的数学研究方式是两种，一种是计算，一种是推理。也就是说算术（代数）强调的是计算，几何强调的就是推理证明。这里还加了一个建模，相当于应用。我们的新课标把数学分成几个模块，如果把统计概率归到广义的实际应用，它就三个模块；如果把统计概率独立出来，那就相当于四个模块。也就是说，我们通过计算、推理证明、建模，三种方式来研究数学，获得数学的真命题。

当然这样的一个解释已经很本质了，不过我们一直在共读，所以从某种程度上讲，这样的理解其实还是有一些局限性。为什么？因为计算也好，推理也好，建模也好，都是我们已经拥有了某些东西，计算一定是对于某个对象的计算。比如我们小学起始阶段一定是对自然数进行加减乘除，问题是——自然数1、2、3、4、5从哪来的？加法怎么来的？减法怎么来的？除法乘法从哪来的？我们当然可以把它当做基本事实直接接受下来，但是我们一直在进行课程研发、课程实施，大家在玩游戏，学数学的过程中很清晰地感受到，这还不够。所以我们要对这个基本事实进一步地追问——基本事实到底从哪儿来？或者基本事实为什么能够成为基本事实？

在哲学上，要想成为基本事实，它一定要对我而言具有明见性，是不证自明的，清清楚楚的。不证自明不是偷懒，而是对于一个学习者而言，它是豁亮的。就像一看到阳光，我们就能感受到光明和温暖。它不是一个抽象的东西，它是一个活的东西，这才叫自明。

但是我们知道，对于学龄初期的儿童，如果我们从最开始就用这些传统的学习方法，1,2,3,4,5这样的数字符号，“+”“-”“×”“÷”这样的运算符号对于学生来讲都是小魔怪！它对于孩子而言显然不具备自明性。用传统的方法去教一年级的孩子，显然是有问题的。如果具备自明性，那么孩子们就会玩得很快乐，那些符号就是他的好朋友了。

这就需要有一种研究数学的能力，叫直观。直观也是研究数学非常重要的方法，它并不亚于计算，也完全不亚于推理证明，更不亚于所谓的建模。直观是从无到有的过程，计算也好，推理证明也好，建模也好，都只是从有到有，对不对？有了对象才能去计算，去推理证明，去建模。如果啥都没有，计算什么？推理什么？建模什么？所以直观太重要了。

对于小孩子而言，在初始阶段主要是感性直观，而一个具有数学天分的人还拥有理性直观（范畴直观），这是一种纯粹的创造。比如说我们常讲的一个数学的故事，笛卡尔发明解析几何的故事。他身体不好，早上躺在床上，发现墙角有个蜘蛛网，灵感迸发，于是发明了坐标系，再慢慢地发展成为平面直角坐标系，然后就有了解析几何。解析几何到底是怎么来的？是计算出来的吗？是推理论证出来的吗？是建模出来的吗？都不是。是通过理性直观创造出来的，这是一种创造。

所以这里所讲的计算、推理、建模很重要，但它只是一种常规数学，是从有到有。可是数学本来并没有，在非洲大草原，在客观自然世界里并没有，所以我们必须要从无到有。而且数学还在持续不断地发展，那么这样一种从无到有的研究方法（能力）当然应该受到重视，而且从基础数学教育阶段就应该受到重视。所以这里面至少要补充直观创造。在《玩游戏学数学》里面，我们一直在说要引导孩子们像数学家一样去发明数学、创造数学，像数学家一样去研究数学，这其实更根本！

数学课程标准解读 | 01 数学从哪里来？