数学课程标准解读 |17 如何理解抽象能力
来源：玩游戏学数学
数学课程标准解读 |17 如何理解抽象能力
[课标原文]
三、课程目标
(一)核心素养内涵
2.在小学与初中阶段的主要表现
核心素养的主要表现及其内涵如表1。
如何理解数学的抽象能力？
我们前面谈到了如何理解抽象。如果对抽象本身的把握就有一些问题，那么很显然理解抽象能力也会出问题。当然不能否认，抽象应该是对现实世界中数量关系和空间形式的抽象，但这是同义反复。本来要解释何为抽象、抽象能力，然后又说对什么什么的抽象这就叫抽象，这就是有时候我们阅读课程标准的内容会感觉困难的原因。
在我的理解，抽象至少分为两个级别。
第一个级别是将感性经验转化成数学的概念或符号的过程。就像前面讲的，小孩子需要大量的游戏和动作经验，包括孩子们直接用自己的感官跟天地万物相接，所获得的丰富的感性经验。将感性经验转化成数学概念或者最初的对于数学的经验，事实上就是低龄儿童的数学抽象能力。这就是为什么我们要特别地强调动作经验的重要性。缺动作经验，就要补动作经验。因为没有这些动作经验，没有这些偏感性的经验，就像一个厨师没有原材料一样，一个孩子怎么能抽象出一个数学概念来呢？它是空的。
前面反复在强调，数学的公式、定理、概念并不是藏在自然界的某个角落里，用眼睛或其他什么东西把它抓出来、抽取（抽象）出来，不是这个道理。所以这第一个层级，特别是对于低龄儿童而言，实在太重要了。数学的抽象就意味着要将偏感性的经验（动作经验，包括通过他的感官所获得的感性经验）转化、内化为最初的对数学的理解与认识（数学经验、数学概念）。
第二个层级是将较为低级的数学概念转化为高级的数学概念。这个过程才真正地体现了数学的抽象能力。为了有所区别，当我们说“数学观念”的时候，强调的是学习者的主动建构，而“数学概念”则是强调客观性，教材里面的东西。我们反复强调数学观念是从种子到大树的生长过程，那就意味着它要从最初的种子的形态发展成高级的大树的形态。这个发展的过程，从学习者的角度而言，就是从低级的数学观念发展为、生长为、建构成高级的数学观念的过程。这个过程也就是数学抽象的过程。
这样就可以非常好地理解皮亚杰所讲的反省抽象。它不是对外在东西的抽象（对于外在东西的抽象，从认知科学的角度来讲是有点麻烦，很多时候是解释不通的），而是对于自己的已有经验、已有观念的升级。在解决问题的过程中，遭遇认知冲突，化解、解决认知冲突，内在观念所达成的一个新的形态，也就意味着原有的较为低级的数学观念发展成一个高级形态。这个过程才是数学抽象能力的本质，大致也就是皮亚杰所说的反省抽象的内涵。
如果把儿童的数学的抽象能力再细致一点讲，可以类比佛教里面讲的三个层级。最初是“见山是山，见水是水”的阶段，随后是“见山不是山，见水不是水”的阶段，再往后是“见山还是山，见水还是水”的阶段，跟儿童所谓的数学抽象思维能力有密切的关系。
最初孩子看到什么就是什么，特别是6岁左右的学前儿童。按照皮亚杰的认知心理理论，这个阶段，不能说儿童只是活在具体世界当中，没有抽象。只是最初儿童是通过早期绘画，通过各种各样的游戏（包括模仿游戏）以及语言，这叫表象思维能力。从数学的角度而言，表象思维能力就是数学抽象能力最初的形态。那么这个时候他不管是画画也好，模仿也好，对他而言，画的是什么就是什么，当下即是的状态。
然后慢慢地进了学龄期，实际上对于很多儿童来讲，小学一年级是学数学非常关键的一个时期，因为突然一下子他脑海里面蹦出了很多小魔怪，包括1,2,3,4,5,6,7,8,9。这些符号对于成人而言是如此的正常，已经是我们生活中的一部分，简直就像一个直观自明的真理一样。但是对于儿童而言并不是如此。加号、减号、等号以及形形色色的数学符号，事实上对于学龄初期的儿童来讲，难度是很大的。这就会爆发一次很严重的认知冲突。所以我觉得，有的时候我们在这一块关注得还是不太够。我们要意识到，对于儿童来讲，要想把这些抽象的符号转化成一种数学的思维能力，特别是抽象思维能力，在初期就是看啥不是啥的阶段，因为他还不能很好地理解和领会。
如果经过精心的活动设计，能够化解这些认知冲突，儿童必然会经历一个阶段——所有这些数字还是原来一样的抽象，但对他们而言，已经可以灵活自如地加以应用。当然还是这些符号，但是这些符号在他们的脑海中已经不再是陌生的、令人恐惧的小魔怪，而是可以自如驾驭的思维对象。
对成人而言，不用说数学和科学的各种公式、符号，哪怕是一些文字（有的时候也可以把它理解为符号）也是一样。有的符号当然一看就能明白它的意思，但是更多的时候，满眼看上去好像这些符号跟你都是隔着的。所以如何从最初的阶段一步一步地向高级阶段发展出来，这个过程才是数学抽象能力的本质。
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