两位数乘法速算一般性算理探究

两位数乘法速算一般性算理探究

河南省太康县城关镇建南小学（461400） 师亚军

笔者注：近期，我校开展小学生计算能力大赛，重观“首同尾合十”、“尾同首合十”、“十几乘十几”和“几十一乘几十一”等速算方法，细探算理，发现它们竟然可以统一在一个口诀之下，“欣欣然，张开了眼”，心中豁然开朗，喜作此文。

再注：笔者曾在2011年第5期的《中小学数学》（小学版）上撰文《小学数学应用题的“通解”》，文中涉及到“统一思想”和“统一理论”，希望此次“统一”和“推广”能让全国的小学师生“喜用”速算方法。

 

计算分属数学“四基”（基础知识、基本技能、基本思想、基本活动经验）中的“基本技能”， 提高计算能力是解决问题的必要准备，也是小学数学教学着力训练的科目。

2011年版的《数学课程标准》在“知识技能”上对“数的运算”提出的目标是：体会四则运算的意义，掌握必要的运算技能，能准确进行运算；在具体情境中，能选择适当的单位进行简单的估算……探索并了解运算律，会应用运算律进行一些简便运算；经历与他人交流各自算法的过程，并能表达自己的想法……

太康县城关镇建南小学计算能力大赛要求：准确、快速地计算；选择恰当的算法，自觉简算。

两位数乘两位数，无论是在社会生活中，还是在数学解题中，运用都极其广泛，探究其速算方法和规律是小学数学教师开展教研活动的重要内容。

一、    一般算理

设两位数(10a+b)和(10c+d),其中a、b、c、d都是1-9的数字，那么

(10a+b)(10c+d)=100ac+10(ad+bc)+bd

由此可见，两位数乘两位数的速算方法是：十位数字相乘占百位，个位数字相乘占个位，十位数字与个位数字交叉相乘占十位。特别注意“错位相加”，即满几十，要向前一位进几。

用一句口诀可以概括为：头乘头，尾乘尾，交叉相乘作十位。

下面以若干例题为样，谈谈这个“两位数乘两位数速算口诀”的具体应用。

例1.32×46=？

例2. 24×57=？

例3. 42×34=？

二、     特例简化

“头乘头，尾乘尾，交叉相乘作十位”这个口诀适用所有的两位数乘两位数，但对一些特例可以进一步简化，使它更加简便易用。

1、头同或尾同

(10a+b)(10c+d)=100ac+10(ad+bc)+bd，如果a=c,或b=d时，那么

(10a+b)(10a+d)=100aa+10a(d+b)+bd

(10a+b)(10c+b)=100ac+10b(a+c)+bb

即“交叉相乘作十位”时，可以简化为：不同相加乘相同。

例4. 34×35=？

例5. 24×54=？

2、十几乘十几或几十一乘几十一

(10a+b)(10c+d)=100ac+10(ad+bc)+bd，如果a=c=1,或b=d=1时，那么

(10+b)(10+d)=100+10(d+b)+bd=10（10+b+d）+bd

(10a+1)(10c+1)=100ac+10(a+c)+1

即“交叉相乘作十位”时，可以简化为：不同相加作十位。

例6. 12×16=？

十几乘十几也可以这样简算：一数加另一数的个位数字占十位，尾乘尾占个位。

例7. 31×51=？

3、尾同首合十

(10a+b)(10c+d)=100ac+10(ad+bc)+bd，如果a+c=10,b=d时，那么

(10a+b)(10c+b)=100ac+10b（a+c）+bb

              =100ac+100b+bb

              =100（ac+b）+bb

即，“交叉相乘作十位”与“头乘头”合并为：“头头相乘加相同”占百位，

例8.47×67=？

4、首同尾合十

(10a+b)(10c+d)=100ac+10(ad+bc)+bd，如果a=c,b+d=10时，那么

(10a+b)(10a+d)=100aa+10a(d+b)+bd

=100aa+100a+bd

=100（aa+a）+bd

=100a（a+1）+bd

即“头头相乘加相同”占百位简化为“头乘（头+1）”占百位。

例9. 32×38=？

此题可以简化为：

5、一数互补，一数数字相同

(10a+b)(10c+d)=100ac+10(ad+bc)+bd，如果a=b,或c+d=10时，那么

（10a+a）（10c+d）=100ac+10a（c+d）+ad

=100ac+100a+ad

=100（ac+a）+ad

=100a（c+1）+ad

    这与“首同尾合十”类似。

例10. 44×28=？

 

练习：用速算法计算下面各题。

      36×32=      42×46=        54×23=

26×27=      43×45=        56×54=

18×16=      21×61=        34×74=

33×46=      45×45=        46×34=