例谈整数裂项

解题研究

后延减前伸   差数除以N

——例谈整数裂项

河南省太康县城关镇建南小学 （461400） 师亚军

对于较长的复杂算式，单单靠一般的运算顺序和计算方法是很难求出结果的。如果算式中每一项的排列都是有规律的，那么我们就要利用这个规律进行巧算和简算。而裂项法就是一种行之有效的巧算和简算方法。通常的做法是：把算式中的每一项裂变成两项的差，而且是每个裂变的后项（或前项）恰好与上个裂变的前项（或后项）相互抵消，从而达到“以短制长”的目的。

下面我们以整数裂项为例，谈谈裂项法的运用，并为整数裂项法编制一个易用易记的口诀。

例1、  计算1×2+2×3+3×4+4×5+……+98×99+99×100

分析：这个算式实际上可以看作是：等差数列1、2、3、4、5……98、99、100，先将所有的相邻两项分别相乘，再求所有乘积的和。算式的特点概括为：数列公差为1，因数个数为2。

1×2=（1×2×3-0×1×2）÷（1×3）

2×3=（2×3×4-1×2×3）÷（1×3）

3×4=（3×4×5-2×3×4）÷（1×3）

4×5=（4×5×6-3×4×5）÷（1×3）

……

98×99=（98×99×100-97×98×99）÷（1×3）

99×100=（99×100×101-98×99×100）÷（1×3）

将以上算式的等号左边和右边分别累加，左边即为所求的算式，右边括号里面诸多项相互抵消，可以简化为（99×100×101-0×1×2）÷3。

解：1×2+2×3+3×4+4×5+……+98×99+99×100

   =（99×100×101-0×1×2）÷3

   =333300

例2、  计算3×5+5×7+7×9+……+97×99+99×101

分析：这个算式实际上也可以看作是：等差数列3、5、7、9……97、99、101，先将所有的相邻两项分别相乘，再求所有乘积的和。算式的特点概括为：数列公差为2，因数个数为2。

3×5=（3×5×7-1×3×5）÷（2×3）

5×7=（5×7×9-3×5×7）÷（2×3）

7×9=（7×9×11-5×7×9）÷（2×3）

……

97×99=（97×99×101-95×97×99）÷（2×3）

99×101=（99×101×103-97×99×101）÷（2×3）

将等号左右两边分别累加，左边即为所求算式，右边括号里面许多项可以相互抵消。

解：3×5+5×7+7×9+……+97×99+99×101

   =（99×101×103-1×3×5）÷（2×3）

   =1029882÷6

   =171647  

例3、  计算1×2×3+2×3×4+3×4×5+……+96×97×98+97×98×99

分析：这个算式实际上可以看作是：等差数列1、2、3、4、5……98、99、100，先将所有的相邻三项分别相乘，再求所有乘积的和。算式的特点概括为：数列公差为1，因数个数为3。

    1×2×3=（1×2×3×4-0×1×2×3）÷（1×4）

    2×3×4=（2×3×4×5-1×2×3×4）÷（1×4）

    3×4×5=（3×4×5×6-2×3×4×5）÷（1×4）

    ……

    96×97×98=（96×97×98×99-95×96×97×98）÷（1×4）

    97×98×99=（97×98×99×100-96×97×98×99）÷（1×4）

右边累加，括号内相互抵消，整个结果为（97×98×99×100-0×1×2×3）÷（1×4）。

解：1×2×3+2×3×4+3×4×5+…+96×97×98×+97×98×99

   =（97×98×99×100-0×1×2×3）÷（1×4）

   =23527350

例4、  计算10×16×22+16×22×28+……+70×76×82+76×82×88

分析：算式的特点为：数列公差为6，因数个数为3。

解：10×16×22+16×22×28+……+70×76×82+76×82×88

  =（76×82×88×94-4×10×16×22）÷（6×4）

  =2147376

通过以上例题，可以看出这类算式的特点是：从公差一定的数列中依次取出若干个数相乘，再把所有的乘积相加。其巧解方法是：先把算式中最后一项向后延续一个数，再把算式中最前面一项向前伸展一个数，用它们的差除以公差与因数个数加1的乘积。

将以上叙述可以概括一个口诀是：等差数列数，依次取几个。所有积之和，裂项来求作。后延减前伸，差数除以N。N取什么值，两数相乘积。公差要乘以，因个加上一。

需要注意的是：按照公差向前伸展时，当伸展数小于0时，可以取负数，当然是积为负数，减负要加正。对于小学生，这时候通常是把第一项甩出来，按照口诀先算出后面的结果再加上第一项的结果。

此外，有些算式可以先通过变形，使之符合要求，再利用裂项求解。

例5、   计算1×1+2×2+3×3+……+99×99+100×100

分析：n×n=(n-1)×n+n

解：1×1+2×2+3×3+……+99×99+100×100

  =1+（1×2+2）+（2×3+3）+……+（98×99+99）+（99×100+100）

  =（1×2+2×3+……+98×99+99×100）+（1+2+3+……+99+100）

  =99×100×101÷3+（1+100）×100÷2

  =333300+5050

  =338350

例6、   计算1×2+3×4+5×6+……+97×98+99×100

分析：(n-1)×n=(n-2)×n+n

解：1×2+3×4+5×6+7×8+……+97×98+99×100

  =2+（2×4+4）+（4×6+6）+（6×8+8）+……+（96×98+98）+（98×100+100）

  =（2×4+4×6+6×8+……+96×98+98×100）+（2+4+6+8+……+98+100）

  =98×100×102÷6+（2+100）×50÷2

  =169150

例7、    计算1×1×1+2×2×2+3×3×3+……+99×99×99+100×100×100

分析：n×n×n=(n-1)×n×(n+1)+n

解：1×1×1+2×2×2+3×3×3+……+99×99×99+100×100×100

   =1+（1×2×3+2）+（2×3×4+3）+……+（98×99×100+99）+（99×100×101+100）

   =（1×2×3+2×3×4+……+98×99×100+99×100×101）+（1+2+3+……+99+100）

   =99×100×101×102÷4+（1+100）×100÷2

  =25492400

例8、   计算1×3+2×4+3×5+4×6+……+98×100+99×101

解：1×3+2×4+3×5+4×6+……+98×100+99×101

  =（1×3+3×5+……+99×101）+（2×4+4×6+……+98×100）

  =（99×101×103-1×3×5）÷6+1×3+98×100×102÷6

=171650+166600

=338250

例9、   计算1+（1+2）+（1+2+3）+……+（1+2+3+4+……+100）

解：1+（1+2）+（1+2+3）+……+（1+2+3+4+……+100）

  =1×2÷2+2×3÷2+3×4÷2+……+100×101÷2

  =（1×2+2×3+3×4+……+100×101）÷2

  =（100×101×102÷3）÷2

  =171700

将上面的口诀继续编写是：前延比零小，取负就是了。小学不可为，首项先甩掉。平方和立方，变形再裂项。式长要转化，类比解决它。口诀需熟记，灵活靠练习。

练习题：

1、          计算1×4+4×7+7×10+……+94×97+97×100

2、          计算2×4×6+4×6×8+……+94×96×98+96×98×100

3、          计算5×5×5+6×6×6+7×7×7+……+65×65×65

4、          计算3+（3+6）+（3+6+9）+……+（3+6+9+12+……+300）