漫谈“3×8”和“8×3”

最近网络上对于乘法算式的讨论十分火热，话题来于一道小学数学题“有3个盘子，每盘8个水果，一共有多少个水果？”的讨论——3×8和8×3之争，到底一种意义能否对应两种算式。我看了一些这方面的文章，也翻阅了各个版本的教材，的确很有意思，在同一个问题上的处理方式竟不相同，大致分为三派：1.不区分3×8和8×3——以北师大版和青岛版为例

这两个版本的教材我们可以看出，4个2的和既可以用4×2表示，也可以用2×4表示。这也是我们长久以来的教学方式，怎么列式都可以。2.区分3×8和8×3，认为“每份数×份数＝总数”——以人教版和苏教版为例

这两种呈现方式与以前的教法相同，其实就是在用被乘数和乘数区分，约定为“每份数×份数＝总数”。这种表示方式似乎更说得通，我们知道乘法是加法的延伸，乘方是乘法的延伸，8+8+8=8×3，3表示个数，8×8×8＝8的3次方，3也是个数。从意义上抽象来讲，前一个数是基本数（被乘数、底数），后一个数是它们的个数（乘数、指数），乘法是基本数×个数，乘方也是基本数×个数，后面的数都是带有计数功能。细想这部分的强调，不知是否可以理解为与除法的呼应。A乘以B=A乘之以B=以B乘A，以B为次数累加A，B为累加次数，即乘数，A是被累加的对象，即被乘数。A除以B=A除之以B=以B除A，以B为份数分割A，B为分割份数，即除数，A是分割的对象，即被除数。3和8都是符号，有不同的意义和单位，以“6篮苹果，每篮3颗，一共有几颗”一题为例，如果引出量纲的概念，这题应该就是3（个/筐）×6（筐）=18（个）。      所以人教版和苏教版对于乘法算式的区分更多的是从算式意义的角度出发。但是这种说法从物理学的角度上思考好像也有漏洞，比如以“6篮苹果，每篮3颗，一共有几颗”为例，6×3描述的是6个筐各放1颗，放3轮，共放了18颗，3×6描述的是一个筐放3个，重复放6个筐，共放了18颗。当物理过程抽象为数学公式后，数学定律可以反过来届时物理过程的另一种可能，从上面例子可以看出份数放左或放右都可以解释。如果这样去想，那就跟北师大版教材不谋而合了。3.区分3×8和8×3，认为“份数×每份数＝总数”——以沪教版为例

沪教版教材的呈现方式与人教版截然相反，它同样区分算式，但是认为“份数×每份数＝总数”。它更倾向于语言优先的逻辑，既然是3个5那就列成“3×5”，这其实与西方逻辑是一致的，英语中表示3×5用“three times five”翻译过来就是三次五，即3个5，或者用“three multiplied by five”也就是3被5乘，又有点被乘数、乘数的意思。我在与孩子观看的动画片《number blocks》中也是按这个逻辑呈现的。   乍一看好像教材版本各不相同，但其实我们可以发现无论是哪个版本的教材在呈现上都有相同之处，即对情境图的解读，6个4和4个6是不同的，这个也是乘法的重要模型。我们知道乘法最原始、最核心的定义是：相同加数求和。既然是求和，那6+6+6+6和4+4+4+4+4+4的含义必然是不同的，放在具体的情景中同样可以解释，这就是数学的生活态，6和4都是符号。回到数数的原始活动上，我们可以竖着数也可以横着数，比如第一幅图，横着数每行有7块，有2行，即7+7=14，竖着数每列有2块，有7列，2+2+2+2+2+2+2=14，虽然结果相同但是过程截然不同。如果按人教版的思路来，以上连加算式分别用7×2和2×7表示，同样为了区分算式的不同含义。  人民教育出版社对于这个问题也做出了回应“符号表达的意义是唯一的，特别是在具体情境中”“通常约定，相同加数在前，相同加数的个数在后”，从这种回应可以看出，对于算式本身含义的区分是非常有必要的，但区分到哪个程度，回应中同样提到“如果学生将相同加数及其个数的位置写颠倒了，教师评价师也尽量宽松些”，不苛刻、不为难，是学生的轻松，也是老师的快乐。

为什么把不是问题的问题当作问题呢？我是这么想的：纠结于“3个8”到底是用“3×8还是“8×3”，我想初衷是为了清晰乘法的意义，维护数学概念的准确性和算理体系的严谨性。在之前的教学中学生的确会出现看到题目里有3和8就用3×8，至于是3个8还是8个3根本不去思考，甚至在读题时也忽略这个问题，只是在列式而不是解决问题。而现在的争论正好让这个问题浮出水面，让更多的学生和老师关注算式背后的道理，而这个道理其实很重要。我们肯定都会遇到这样的学生，题目有时候读不懂，但是算式能列对，问起来就是最近学加法就用加法解决，题目里看到比大小就用加法解决，有时候能碰对有时候就做错，我认为就是最初建立模型的时候出了问题，例如在上周听一位新老师教加法时，她会说加法就是“一共”，看到“一共”用加法，但是真的是这样么？如果题目里没有“一共”就不能用加法么？显然这位教师对于加法的理解过于片面。同样的问题在乘法教学中依旧存在，看到几个几就用乘法，那到底每个数表示的含义是什么呢？只要把算式写对就可以么？      另外，有人从乘法交换律的角度去否定，那是否又陷入运算与意义的混乱中，乘法交换律从来只说的是交换次序相乘之后其结果相同，并没有说过程相同。教材中呈现的也很清楚，因为3×5＝15，5×3＝15，所以3×5=5×3，利用了等号的可传递性，我觉得和我们讨论的并不是一个问题。

乱七八糟说了这么多，也不知道有些观点是否正确，就当凑个热闹了。我个人虽然认为有必要区分两者含义，但是在教学上肯定无需苛刻，算式怎么列都可以，但是在描述意义上必须清晰。如果能因为这番热议让更多人关注到算式意义本身，这个问题也是个好问题！

个人观点，仅供参考。