3×8与8×3引发的惨案，物理所来砸场子了

最近 “3×8 和 8×3 到底一不一样”，成了朋友圈和家长群的 “顶流话题”。作为当年数学常年在及格线徘徊的 “学渣”，我也忍不住凑了波热闹 ，胡说八道了一大堆：相乘的两个数是不能随意调换顺序的，老师的说法到教材的写法，都是为了能让学生弄清倍增的对象是什么、倍增了多少倍，这就是小学数学阶段要搞懂的内容。数学世界里有很多乘法运算中A×B是不等于B×A的。矩阵、向量这些都是乘法不可以互换的。（现在想来也自己真敢“胡扯”）

昨天晚上看到“物理所”内部有人向这个问题开炮了，觉得讲的很好，给大家整个 “极简人话版”（原文有大量删减，复杂论证全略，毕竟我也看不懂）：

1、想搞懂 “3×8 能不能换顺序”，得先搞懂 “群”

其实 “乘法交换律到底成立不成立”，本质不是看数字，而是看 “这个乘法运算背后的‘群’，是不是阿贝尔群”。

数学里的 “运算”（比如加法、乘法）不是孤立的，它们都得 “依附” 在某个 “集合”（比如自然数、实数）上，而 “群” 就是给 “集合 + 运算” 定的一套 “规则体系”。只有满足这套规则，才能叫 “群”；而交换律，只是其中一条 “可选规则”。

2. 小学学的交换律，是 “自然数专属福利”

小学背的 “a×b=b×a”，其实只在 “自然数” 这个范围内管用。 “为什么自然数里乘法能换顺序”，就得从 “皮亚诺公理” 说起 —— 这是给自然数下定义、推导加减乘除规则的 “底层逻辑”。 

物理所里提了皮亚诺公理对乘法的定义，其实特别好懂，就两条：

对于任何正整数 a，a×1 = a（比如 3×1=3，5×1=5）；

对于任何正整数 a 和 b，a×(b+1) = a×b + a（比如 3×2=3×(1+1)=3×1+3=6，“乘法是重复加法” ）。

3、从小学到高中我们都沿着乘法交换律学习着数学知识，教科书基本都在 “交换律成立” 的圈子里打转，教科书也不会特意提 “交换律不成立” 的情况 —— 直到高中物理学到 “带电粒子在磁场中的受力”

这里就要用到 “向量叉乘” 了：力的方向由两个向量的叉乘决定，而向量叉乘是 “不满足交换律” 的 —— 比如 a×b 和 b×a，结果大小一样，方向完全相反。这时候我们才发现：原来交换律不是 “数学真理”，只是 “特定场景下的规则”。

4、所谓 “群”，就是 “一个集合 + 一种运算”，必须满足 4 个条件：

 封闭性：集合里随便两个元素运算，结果还在这个集合里（比如自然数乘自然数，结果还是自然数，不会算出小数）；

 结合律：(a×b)×c = a×(b×c)（比如 (2×3)×4=2×(3×4)，顺序变了结果不变）； 

单位元：集合里有个 “特殊元素”，跟谁运算都不改变那个元素（比如乘法里的 1，2×1=2，5×1=5）；

 逆元：每个元素都有个 “搭档”，两者运算后能得到单位元（比如加法里，2 的逆元是 - 2，因为 2+(-2)=0；乘法里，2 的逆元是 1/2，因为 2×1/2=1）。 

满足这 4 条，就是 “群”；如果还满足 “交换律（a×b=b×a）”，就是 “阿贝尔群”（交换群）—— 我们小学学的自然数乘法，就属于阿贝尔群的范畴。

而当 “交换律不成立”（至少有一对元素 a×b≠b×a），就成了 “非阿贝尔群”—— 这才是物理和数学里更复杂的领域

一般线性群 GL(n, ℝ)与三维旋转群 SO(3)。（此处省去原文1万字群论的论证，物理所的这群“混蛋”，有必要讲三维旋转群吗？------此处痛恨我这个数学学渣。）

以上就是我这个学渣最后整理的的极简人话版，已经是我个人可以理解的最高地步了。这里删除了大量关于皮亚诺公理，向量，矩阵，阿贝尔群，一般线性群 GL(n, ℝ)与三维旋转群 SO(3)严格的定义与描述，所以如果该极简人话版有不对的地方不是“物理所”的错，是我这个学渣理解的错。

物理所最后还是口下留德了，我也“邯郸学步”，不讲到底谁对谁错，请大家在“阿贝尔群”里找答案。

​