小学数学竞赛试题20则

小学数学竞赛试题20则

河南省太康县城关镇建南小学（461400）师亚军

1、1+2+4+8+16+32+…+1024+2048

考查目标：通过递补合并使计算简便。

参考答案：4095

在原式上先加上1，再减去1，结果不变。而1+1=2，2+2=4，4+4=8……1024+1024=2048,2048+2048=4096，最后结果应是4096-1=4095。即

原式=1+1+2+4+8+16+32+…+1024+2048-1

    =2048+2048-1

    =4095

 

2、已知：

A=1×2+2×3+3×4+4×5+…99×100

=（1×2×3+2×3×4-1×2×3+3×4×5-2×3×4+4×5×6

-3×4×5+…+99×100×101-98×99×100）÷3

=99×100×101÷3

=333300

求：B=1²+2²+3²+4²+5²+…+100²=？

考查目标：通过变形化归，把未知转化为已知。

参考答案：338350

因为1²=1，2²=1×2+2，3²=2×3+3，4²=3×4+4，5²=4×5+5……100²=99×100+100，所以

原式=（1×2+2×3+3×4+4×5+…99×100）+（1+2+3+4+5+…+100）

    =333300+5050

=338350

 

3、一种新型飞机，加满油可以在空中飞行6000千米。两架新型飞机A和B同时起飞，若A飞机在某处给B飞机进行“空中加油”，且使两架飞机都能安全返回起飞地，那么B飞机最远可以到达多少千米的地方就要返回？

考查目标：通过整体思考和比例思想解决问题。

参考答案：4000千米

在“空中加油”时，一要给B飞机的油箱加满油，二要使A飞机油箱剩余的油能保证A飞机返回。两架飞机共带两箱油，如果给B飞机的油箱加满油，那么A飞机已经用去的油、B飞机已经用去的油和A飞机剩余的油一共也是一箱油，即A飞机已经飞行的路程、B飞机已经飞行的路程和A飞机需要返回的路程一共是6000千米。而这三个路程是相等的，即是6000÷3=2000（千米）。B飞机已经飞行了2000千米，加满油还可以飞行6000千米。就是说B飞机在空中一共飞行2000+6000=8000（千米），因此最远飞行8000÷2=4000（千米）就要返回。

综合算式：（6000÷3+6000）÷2=4000（千米）

 

4、某班学生，喜爱语文的占80%，喜爱数学的占90%，喜爱社会的占76%，喜爱科学的占98%。四科都喜爱的至少占百分之几？

考查目标：运用抽屉原理的最不利原则解决问题。

参考答案：44%

解法一：假设这个班有学生50人，那么喜爱语文、数学、社会、科学的人数分别是50×80%=40（人）、50×90%=45（人）、50×76%=38（人）和50×98%=49（人），一共是40+45+38+49=172（人）。如果四科都喜爱的尽量少，那么三科都喜爱的尽量多。按最不利原则，假如每个人都不喜爱四科只喜爱三科，那么一共才是50×3=150（人）。这比实际的总人数少172-150=22（人），他们必定喜爱四科。即至少有22人四科都喜爱，占全班人数的22÷50=44%。

解法二：喜爱语文、数学、社会和科学的人数一共占全班人数的80%+90%+76%+98%=344%。按最不利原则，假使每个人都不喜爱四科只喜爱三科，一共才占全班人数的300%。因此多出的344%-300%=44%，一定是喜爱四科的。即四科都喜爱的至少占44%。

 

5、苹果数是梨的3倍。明明每天吃4个苹果、2个梨。吃了若干天，梨剩下1个，苹果剩下11个。问：苹果共有多少个？

考查目标：按照倍比关系构建一种情形，通过对比发现形成差额的原因。

参考答案：27个

苹果数是梨的3倍，如果每天吃2个梨，而每天吃2×3=6（个）苹果，那么当梨剩下1个时，苹果应剩下1×3=3（个）。

这种吃法与题中的吃法，所用的天数相同。实际比假设每天少吃6-4=2（个）苹果，一共多剩下11-3=8（苹果）。因此吃的天数是8÷2=4（天），那么苹果共有4×4+11=27（个）。

综合算式：（11-1×3）÷（2×3-4）×4+11=27（个）

 

6、设n是4和6的公倍数，那么从1到n这n个数之中，是所有4的倍数之和大，还是所有6的倍数之和大？为什么？

考查目标：运用推理，求证问题的答案。

参考答案：4的倍数之和大于6的倍数之和。

设n÷4=x，n÷6=y，那么x＞y.

5的倍数之和=4×（1+2+3+…+x）

=4×（1+2+3+…+n÷4）

=4×（1+n÷4）×（n÷4）÷2

=n÷2×（1+n÷4）

= n÷2×（1+x）

6的倍数之和=6×（1+2+3+…+y）

=6×（1+2+3+…+n÷6）

=6×（1+n÷6）×（n÷6）÷2

=n÷2×（1+n÷6）

=n÷2×（1+y）

因为x＞y，所以n÷2×（1+x）＞n÷2×（1+y），故知：4的倍数之和大于6的倍数之和。

 

7、从上午8时到下午4时，时针和分针共重合了多少次？

考查目标：用具体求证检验直观求解中的特殊情况。

参考答案：7次

一般认为每两个相邻的整点之间，时针与分针都要重合一次。事实上有个特殊的情况需要注意，即11点多没有重合，1点多也没有重合，而是在12点整重合了。

具体到本题，从上午8时到下午4时一共经过8小时，于是有的人就认为时针和分针重合了8次。实际上时针和分针重合的时间分别是：第一次是在8:40～8:45之间；第二次是在9:45～9：50之间；第三次是在10:50～10:55之间；注意：第四次不是在11点多，而是在12:00；第五次不是在12点多，而是在1：05～1:10之间；第六次是在2:10～2:15之间；第七次是在3:15～3:20之间。即时针和分针一共重合了7次。

 

8、现在盒子里有100张红色卡片，分别写上1-100这一百个自然数。先从中取出若干张，算出它们的和，用这个和除以6，如果有余数，则把所得余数写在一张黄色的卡片上，放进盒子；再从盒子里取出若干张，算出它们的和，用这个和除以6，如果有余数，则把所得余数写在一张黄色的卡片上，放进盒子……如此反复操作，直至还剩下两张红色卡片和一张黄色卡片为止。如果剩下的两张红色卡片上写的是16和61，那么最后一张黄色卡片上写的是什么数？

考查目标：运用特例思想，把问题放在极端情况下求解。

参考答案：5

事物既遵循普遍规律，又有其特殊性，而特殊性往往能反映出它的普遍性。根据这一原理，在解答某些题时，我们把问题放在某种特殊情况下，运用极端法求出答案。

假如只取一次，而且仅剩下写的是18和81这两张红色卡片，那么所取卡片上的所有自然数之和是（1+2+3+4+…+99+100）-（16+61）=5050-77=4973。

这个和除以6，4973÷6=828……5，把余数5写在一张黄色的卡片上，放进盒子。这样，正是本题的最后要求。那么最后一张黄色卡片上写的是5.

 

9、黑板上写着1～22共22个自然数：

1，2，3，4，5，6，7，8，9，10，11，12，13，14，15，16，17，18，19，20，21，22

甲乙两人轮流划掉任意相邻的两个数。如果甲划过之后乙再也划不成了，甲就算胜了。甲有必胜的方法吗？

考查目标：利用对称性寻找制胜策略。

参考答案：有，先划掉最中间的11和12。

从1～22共有22个自然数，如果甲先划掉最中间的11和12，那么左右两边各有10个连续的自然数。这时乙来划，乙无论在哪一边划掉相邻的两个数，而甲只需要在另一边相应的位置上划掉两个数就可以了。只要乙能划掉相邻的两个数，那么甲总能做到划掉相邻的两个数。只有乙先划不成，而甲才划不成。

 

10、商店里进了6种品牌的电视机，数量分别是：12台、14台、20台、28台、29台、42台。其中5种品牌的电视机被两个学校买去，已知一个学校买的电视机台数是另一个学校的2倍。问剩下那个品牌的电视机有多少台？

考查目标：利用整除知识解决问题。

参考答案：28台

因为一个学校买的电视机台数是另一个学校的2倍，所以可以得出：被买去的5种品牌电视机的总数量是3的倍数。

而12+14+20+28+29+42=145（台）

145÷3=48……1

在12、14、20、28、29和42中，只有28÷3=9……1。

因此剩下那个品牌的电视机有28台。

 

11、求下图钢材的体积。（单位：厘米）

 

考查目标：利用二倍法解决问题。

参考答案：219.8立方厘米

这个不规则的钢材，我们不能直接求出它的体积。如果再取一段同样的钢材，组合成一个圆柱体，那么就可以直接求体积了。

圆柱体的底面直径是4cm，高是（15+20）cm。圆柱体的体积是3.14×（4÷2）²×（15+20）=439.6（立方厘米）。

圆柱体的体积是所求钢材体积的2倍。所求钢材的体积是圆柱体体积的一半。即439.6÷2=219.8（立方厘米）

 

12、体育课上，60名学生面向老师站成一行，按老师口令从左向右报数1，2，3，…，60，报完后老师让所有报数是4的倍数的同学向后转，接着又让报数是6的倍数的同学向后转，问现在仍然面向老师的有多少名同学？

考查目标：用先包含再排除的思想解决问题。

参考答案：45名

解法一：所报数是4的倍数的同学有60÷4=15（人），所报数是6的倍数的同学有60÷6=10（人）。所报数既是4的倍数，又是6的倍数的同学，即所报数是12的倍数的同学有60÷12=5（人）。

第一次向后转的同学是15人，这15人由面向老师变成背向老师。第二次向后转的同学是10人，这10人分两种情况，第一种情况：所报数是6的倍数，而不是12的倍数的同学有10-5=5（人），这5人也由面向老师变成背向老师；第二种情况：所报数是12的倍数的同学有5人，这5人再由背向老师变成面向老师。因此背向老师的同学一共有15+（10-5）-5=15（人），那么现在仍然面向老师的同学有60-15=45（名）。

解法二：所报数是12的倍数的同学，向后转了两次，因此他们是面向老师的。而背向老师的，包括所报的数是4的倍数或6的倍数的同学，不包括所报数是12的倍数的同学。而（15+10）人，不但包含了所报数是12的倍数的同学，而且包含了两次。因此应该排除两个5。即背向老师的同学有15+10-5×2=15（人），那么现在仍然面向老师的同学有60-15=45（名）。

 

13、在20--2000的整数中，数字2一共出现了多少次?

考查目标：合理分类，枚举求解。

参考答案：597次

个位上出现数字2的数，从小到大排列依次是22、32、42、52…92、102、112…992、1002、1012…1992，把个位上的2划掉，依次变为2、3、4、5……198、199，共有199-2+1=198（个）。

十位上出现数字2的数，从小到大依次是20、21、22…29、120、121、122…129、220、221…1928、1929，把十位上的2划掉，依次变为2、3、4…198、199，共有199-2+1=198（个）。

百位上出现数字2的数，从小到大依次是200、201、202…299、1200、1201…1298、1299，把百位上的2划掉，依次是0、1、2…198、199，一共有199-0+1=200（个）

千位上出现数字2的数是2000，只有1个。

因此，数字2一共出现了198+198+200+1=597（次）

 

14、现在有足够多的水，还有两只水桶：一个盛满是7升，一个盛满是5升。如何取出1升水来？

考查目标：通过算式帮助，列表寻找取法。

参考答案：两种方法。

方法一：7×3-5×4=1，倒满3大桶（7升的），倒空4小桶（5升的）。

方法二：5×3-7×2=1，倒满3小桶（5升的），倒空2大桶（7升的）

两种取法，都是“前不空不倒入，后不满不倒出”。

 

15、在一个圆柱形水桶里，放进一段截面半径是5厘米的圆钢。如果把它全放入水里，桶里的水面就上升10厘米；如果使圆钢露出水面12厘米长，那么这时桶里的水面就下降4厘米。问这段圆钢的体积是多少？

考查目标：利用比例思想解决问题。

参考答案：2355立方厘米

解法一：按正比例解答。圆钢的底面积与水桶的底面积之比一定，圆钢露出水面的长度与桶里的水面下降高度成正比。圆钢全部露出水面，桶里的水面下降10厘米。

设圆钢的高为x厘米，那么x:10=12:4，解比例，x=30。

圆钢的体积是3.14×5²×30=2355（立方厘米）。

解法二：按反比例解答。体积一定，底面积与高成反比。圆钢露出水面的长度与桶里的水面下降高度的比是12:4=3:1，那么圆钢的底面积与水桶的底面积之比是1:3，而圆钢的底面积是3.14×5²=78.5（平方厘米），故知，水桶的底面积是78.5×3=235.5（平方厘米）。圆钢的体积与桶里高10厘米水的体积相等，即是235.5×10=2355（立方厘米）

 

16、便民粮店运来面粉和大米共450千克，面粉每千克2.4元，大米每千克6元。学校食堂购买了该粮店的全部面粉和部分大米。经过核算后，发现应付款的总元数与大米的的总千克数无关。问：购买的大米千克数是该粮店大米千克数的百分之几？应付款的总钱数是多少？

考查目标：运用特值法或移补法解决问题。

参考答案：40%，348元

解法一：极端法。“应付款的总元数与大米的总千克数无关”，就是说：无论大米的总千克数取何值，应付款的总元数都不变。取一个极端的特殊值：当大米的总千克数为0时，那么应付款的总元数是2.4×145=348（元）。

设大米的总千克数为x，购买大米的千克数为y。而应付款的总元数就是：2.4（145-x）+6y

而2.4（145-x）+6y=348

进而得出：6y=2.4x，即y=40%x

而应付款的总元数就是上面求出的348元。

解法二：移补法：“应付款的总元数与大米的总千克数无关”，就是说：无论大米的总千克数取何值，应付款的总元数都不变。

当大米的总千克数增加（或者减少）1千克时，那么面粉的总千克数就要减少（或者增加）1千克，而应付款的钱数就要减少（或者增加）2.4元。这由谁来补上（或者减去）呢？

如果购买大米总千克数的百分比不变，那么，当大米的总千克数增加（或者减少）1千克时，购买大米付款的元数就要增加（或者减少）6元的百分之几。

而6元的百分之几是2.4元呢？2.4÷6=40%

“应付款的总元数与大米的总千克数无关”，大米的总千克数任意取值，可以求出应付款的总元数。譬如：大米的总千克数为100千克，那么应付款的总元数是2.4×（145-100）+6×100×40%=348（元）。

当然，大米的总千克数取0，最简便。应付款的总元数是2.4×145=348（元）。

 

17、在三角形中，任意两边之和大于第三边。给定三边长分别是a、b、c，且a≥b≥c＞0。约翰说：只有断定：a+b＞c，a+c＞b和b+c＞a，才能得出：给定的三边可以组成三角形。而琼却说：只要断定：b+c＞a，就能得出：给定的三边可以组成三角形。琼说得对吗？为什么？

考查目标：根据不等式的传递性，灵活运用三角形三边的关系进行判定能否组成三角形。

参考答案：对。

因为a≥b,所以a+b≥b+b，即a+b≥2b。

而b≥c，2b＞b，那么2b＞c。因此a+b＞c

因为a≥b，所以a+c≥b+c。

而c＞0，那么b+c＞b。因此a+c＞b

由a≥b≥c＞0，可以得出：a+b＞c和a+c＞b，因此只需要断定b+c＞a，就能得出“给定的三边可以组成三角形”的结论了。

 

18、今年，爷爷68岁，孙子13岁，孙女11岁。多少年前爷爷的年龄是孙子孙女年龄和的4倍？

考查目标：与规律对比，寻找差额形成或消失的原因。

参考答案：4年

今年，爷爷的年龄比孙子孙女年龄和的4倍少（13+11）×4-68=28（岁）。每向前1年，孙子孙女的年龄和就减少1+1=2（岁），如果爷爷减少2×4=8（岁），那么爷爷的年龄仍比孙子孙女年龄和的4倍少28岁。事实上，爷爷每向前1年只能减少1岁，少减少8-1=7（岁）。经过多少才能减少28岁，使爷爷的年龄是孙子孙女年龄和的4倍呢？28÷7=4（年）。

 

19、商店以每支10.9元的价格购进一批钢笔，售价为每支14元，当卖出这批钢笔的4/5时，不仅收回了全部成本，而且已获利150元。这批钢笔一共有多少支？

考查目标：取样分析，按照倍比关系解决问题。

参考答案：500支。

从这批钢笔里面取出5支作为样本。当卖出样本的4/5时，收回样本的成本，可以获利14×（5×4/5）-10.9×5=1.5（元）。

    实际获利的钱数的样本获利钱数的150÷1.5=100倍，即这批钢笔的支数应是样本支数的100倍。因此，这批钢笔一共有5×100=500（支）。

 

20、有三块草地，面积分别是5、6和8公顷。草地上的草一样厚，而且长得一样快。第一块草地可供10头牛吃20天，第二块草地可供18头牛吃12天。问第三块草地可供64头牛吃多少天？

考查目标：利用比例思想和抓不变量的方法解决问题。

参考答案：4天

对于第一块草地，把地平均分成5份，每份的面积是5÷5=1（公顷）；把牛数也平均分成5份，每份是10÷5=2（头），所需时间（20天）不变。即每公顷可供2头牛吃20天。

同样，把第二块草地的面积和牛数都平均分成6份，6÷6=1（公顷），18÷6=3（头），所需时间（12天）不变。即每公顷可供3头牛吃12天。

那么，第三块草地，64÷8=8（头），每公顷共8头牛吃的时间等于8公顷供64头牛吃的时间。

实际上，原题变为：1公顷草地，可供2头牛吃20天，可供3头牛吃12天。问可供8头牛吃多少天？

假设每头牛每天吃的草量为1，那么1公顷草地每天生长的的草量是：（1×2×20-1×3×12）÷（20-12）=0.5，而1公顷草地原有的草量则是1×2×20-0.5×20=30，或者1×3×12-0.5×12=30。故知：1公顷供8头牛吃，需用的时间是30÷（8-0.5）=4（天）。

原题的答案就是：第三块草地（8公顷）可供64头牛吃4天。