用假设思想解决极值问题

解题研究

用假设思想解决极值问题

河南省太康县城关镇建南小学（461400） 师亚军

《中小学数学》（小学版）2009年第9期刊发了《一道“奥数题”的解法及功能》，在之后的2010年第9期又以《数形结合更有效》为题，再次对这道“奥数题”进行了探究和挖掘。笔者也曾撰文《解题的关键是揭示并解释规律》，进行专题研究。

原题是：某班有60人，42人会游泳，46人会骑车，50人会溜冰，55人会打乒乓球。可以肯定至少有多少人四项都会？（这里称为“题1”）

用“构造法”解题：先求出前两项都会的至少人数：42+46-60=28（人），再求出后两项都会的至少人数：50+55-60=45（人），最后求出四项都会的至少人数：28+45-60=13（人）。这与中国古代的“剩余定理”的“构造思想”，是多么的相像呀！

从另外一个角度思考，它也暗合了“抽屉原理”。 用“抽屉原理”解题：把60人当作60个抽屉，四项共有42+46+50+55=193（人），把他们当作193个苹果。每个抽屉最多放4个苹果，问：放4个苹果的抽屉至少有多少个呢？

为使放4个苹果的抽屉最少，按最不利的情况考虑，每个抽屉都放3个苹果。因为193÷60=3……13，所以可知：至少还剩13个苹果。每个抽屉已经放了3个，只能再放1个苹果，这需要再放进13个抽屉里。这就是说，至少有13个抽屉里放了4个苹果。即四项都会的至少有：42+46+50+55-60×3=13(人)。

后来，笔者遇到下题。再次思考，思路忽转。

原题是：在某学校，星期一有15个学生缺席，星期二有12个学生缺席，星期三有9个学生缺席。如果这三天中至少有一天缺席的学生有22人，那么这三天都缺席的学生最多有多少人？（这里称作“题2”）

何不把上述两题化归为“鸡兔同笼题”用假设思想来解呢？

对于“题2”，按一般情况讲，22人有的缺席1天，有的缺席2天，有的缺席3天，共分三类。为使缺席3天的达到最多，那么缺席2天的和缺席1天的就尽量少，最好没有缺席2天的。即22人只有缺席1天的和缺席3天的（如果可能，连缺席1天的也没有，那么缺席3天的就更多，实际上，这不可能。）

“题2”变化为：22人有的缺席1天，有的缺席3天，共缺席（15+12+9=）36天。问缺席三天的有多少人。

用“鸡兔同笼题”的假设法来解：假设22人都缺席1天，共缺席1×22=22（天），比实际少36-22=14（天）。如果把缺席1天的换作缺席3天的，那么每置换一人就多3-1=2（天），因此缺席3天的有14÷2=7（人）

综合算式：（15+12+9-1×22）÷（3-1）=7（人）

对于“题1”，同样化归。60人按一般情况讲，有的不会1项，有的会1项，有的会2项，有的会3项，有的会4项，共分5类。为使会4项的达到最少，那么不会1项的、会1项的、会2项的和会3项的就尽量多，最好是不会1项的、会1项的和会2项的都没有。即60人只有会3项的和会4项的。

“题1”变化为：60人有的会3项，有的会4项，共会（42+46+50+55=）193项。问会4项的有多少人。

用“鸡兔同笼题”的假设法来解：假设60人都会3项，共会3×60=180项，比实际少193-180=13（项）。如果把会3项的换作会4项的，那么每置换一人就多4-3=1（项），因此会4项的有13÷1=13（人）

综合算式：（42+46+50+55-3×60）÷（4-3）=13（人）

作者简介：师亚军、男、汉族、1967年10月出生，中学高级教师，中国教育学会数学教育研究发展中心会员，省学术技术带头人、市骨干教师，河南省太康县城关镇建南小学业务校长，曾在《中小学数学》、《小学数学教师》、《小学教学研究》、《小学生报》、《小学生学习报》等刊物发表数学类文章三百多篇。

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