中小学数学2013年第4期：巧解民间数学趣题 注释中国古代名题

巧解民间数学趣题  注释中国古代名题

河南省太康县城关镇建南小学（461400） 师亚军

民间盛传的“牲口驮瓦”趣题与中国古代的“百鸡问题”

在民间盛传着这样一道“牲口驮瓦”的数学趣题：一百牲口一百瓦，骡子驮仨马驮俩，三驴共驮一个瓦，几骡几驴几匹马？

此题的音韵琅琅上口，叙述的情节生动有趣，给定的数据整齐奇巧。在民间，此题一般由富有智慧的老者口传，总能激发不少听众的兴趣和探索欲望。

“牲口驮瓦”趣题与“百鸡问题”一样，现代人一般需要求三元一次不定方程组的整数解。

百鸡问题：今有鸡翁一，值钱伍；鸡母一，值钱三；鸡鶵三，值钱一。凡百钱买鸡百只，问鸡翁、母、鶵各几何？答曰：鸡翁四，值钱二十；鸡母十八，值钱五十四；鸡鶵七十八，值钱二十六。又答：鸡翁八，值钱四十；鸡母十一，值钱三十三，鸡鶵八十一，值钱二十七。又答：鸡翁十二，值钱六十；鸡母四、值钱十二；鸡鶵八十四，值钱二十八。

原书说明：原书《张邱建算经》没有给出解法，只说如果少买7只母鸡，就可多买4只公鸡和3只小鸡。所以只要得出一组答案，就可以推出其余两组答案。中国古算书的著名校勘者甄鸾和李淳风注释该书时都没给出解法，只有约6世纪的算学家谢察微记述过一种不甚正确的解法。到了清代，研究百鸡术的人渐多，1815年骆腾风使用大衍求一术解决了百鸡问题。1874年丁取忠创用一个简易的算术解法。在此前后时曰醇（约1870）推广了百鸡问题作《百鸡术衍》，从此百鸡问题和百鸡术才广为人知。百鸡问题还有多种表达形式，如百僧吃百馒，百钱买百禽等。宋代杨辉算书内有类似问题，中古时近东各国也有相仿问题流传。例如印度算书和阿拉伯学者艾布·卡米勒的著作内都有百钱买百禽的问题，且与《张邱建算经》的题目几乎全同。

　　“百鸡问题”用现代的语言叙述为：公鸡每只值5 文钱，母鸡每只值3 文钱，而3 只小鸡值1 文钱。现在用100 文钱买100 只鸡，问：这100 只鸡中，公鸡、母鸡和小鸡各有多少只？

　　现代解法：这个问题流传很广，解法很多，但从现代数学观点来看，实际上是一个求不定方程整数解的问题。解法如下：

　　设公鸡、母鸡、小鸡分别为x、y、z 只，由题意得：

　　①……x+y+z =100

　　②……5x+3y+(1/3)z =100

　　有两个方程，三个未知量，称为不定方程组，有多种解。

　　令②×3－①得：7x+4y=100； 所以y=(100-7x)/4=25-2x+x/4

　　令x/4=t, （t为整数）所以x=4t

　　把x=4t代入7x+4y=100得到：y=25-7t   易得z=75+3t

　　所以：x=4t  y=25-7t   z=75+3t

　　因为x、y、z＞0 ，所以4t＞0 ，25-7t＞0 ，75+3t＞0

　　解得：25/7＞t＞0，又因为t为整数 ，所以t=1、2、3

　　当t=1时 ，x =4；y =18；z =78

　　当t=2时 ，x =8；y =11；z =81

当t=3时 ，x =12；y =4；z =84

巧解“牲口驮瓦”趣题

对于民间盛传的数学趣题，如果用不定方程来解，恐怕就会失去它的生命力，失去它的娱乐性，这也为民间“智慧的老者”所不齿。作为数学教师，我们有责任寻找让民众满意的解法，让爱好数学的小学生及学生家长易于接受。

下面笔者利用“平均问题的移多补少”思想和“数的整除”性质来解答“牲口驮瓦”趣题。

一百牲口一百瓦，平均每个牲口驮瓦：100÷100=1（个）。每个骡子驮3个瓦，比平均数多驮瓦：3-1=2（个）；每匹马驮2个瓦，比平均数多驮瓦：2-1=1（个）；3头驴只驮1个瓦，按平均要求，3头驴少驮瓦：3-1=2（个）。

于是，我们想：在这100个牲口中，有1个骡子就要有3头驴来“移补”，有2匹马就要有3头驴来“移补”。也就是说，1个骡子带3头驴分一组，2匹马带3头驴分一组，恰好不剩余。

这样，骡子带驴的总数是（1+3=）4的倍数，马带驴的总数是（2+3=）5的倍数。而牲口的总数是100，是5的倍数（也是4的倍数），那么骡子带驴的总数也是5的倍数（马带驴的总数也是4的倍数）。

骡子带驴的总数既是4的倍数，又是5的倍数，那么1个骡子带3头驴分一组，分的组数应是5的倍数，即组数只能是5、10、15、20；通过计算，2匹马带3头驴分一组，组数分别是16、12、8、4。

四组答案分别是：

1、骡子：1×5=5（个）；马：2×16=32（匹）；驴：3×（5+16）=63（头）。

2、骡子：1×10=10（个）；马：2×12=24（匹）；驴：3×（10+12）=66（头）。

3、骡子：1×15=15（个）；马：2×8=16（匹）；驴：3×（15+8）=69（头）。

4、骡子：1×20=20（个）；马：2×4=8（匹）；驴：3×（20+4）=72（头）。

“百鸡问题”古解法新注释

“百鸡问题”也可以运用上述解法，先利用“移补”分组，再利用“整除”确定组数。有兴趣的读者可以试一试。

但古人给出“如果少买7只母鸡，就可多买4只公鸡和3只小鸡。所以只要得出一组答案，就可以推出其余两组答案”，这个结论是怎样得出来的呢？

1、利用“鸡兔同笼”的方法解释

母鸡的价钱居中，如果少买母鸡，就要多买公鸡和小鸡。而少1只母鸡，就少用3文钱，换作公鸡和小鸡，总只数是1，总钱数是3。

按照“鸡兔同笼”的解法：假设这1只是公鸡，钱数多（5-3）文；而换成小鸡，换1只，钱数就少（5-1/3）文，因此换成小鸡的只数是（5-3）÷（5-1/3）=3/7（只），而换成公鸡的只数则是1-3/7=4/7（只）。

因为鸡的只数应为整数，所以，如果少买7只母鸡，就要多买7×（4/7）=4（只）公鸡，多买7×（3/7）=3（只）小鸡。

2、多次试算

如果不用分数运算，那么就要多次试算。又因为3只小鸡才1文钱，而钱数是整数，所以，少买母鸡，其中换成小鸡的只数是3的倍数。故此，我们从少买4只母鸡开始试算。

如果少买4只母鸡，则多买公鸡和小鸡共4只，钱数是3×4=12（文）；1只公鸡和3只小鸡的钱数不是12文。

如果少买5只母鸡，则多买公鸡和小鸡共5只，钱数是3×5=15（文）；2只公鸡和3只小鸡的钱数不是15文。

如果少买6只母鸡，则多买公鸡和小鸡共6只，钱数是3×6=18（文）；3只公鸡和3只小鸡的钱数不是18文。

如果少买7只母鸡，则多买公鸡和小鸡共7只，钱数是3×7=21（文）； 4只公鸡和3只小鸡的钱数恰好是21文。

大概古人就是这样试算出来。

3、利用“移多补少”的思想解释

母鸡每只3文钱。如果少买母鸡，换作公鸡和小鸡，则平均每只3文钱。而每只公鸡5文钱，比平均数多（5-3）文；每只小鸡1/3文钱，比平均数少（3-1/3）文。根据平均问题的“移多补少”思想得：

公鸡×（5-3）=小鸡×（3-1/3）

根据比例的基本性质得：换成的公鸡与小鸡的比是（3-1/3）：（5-3）=4:3

由此得出：如果少买(4+3=)7只母鸡，就要多买4只公鸡和3只小鸡。

4、从3只小鸡1文钱入手（先换3只小鸡试试）

母鸡每只3文钱。把一些母鸡换成公鸡和小鸡，总只数是整数，总钱数是总只数的3倍，也是整数。而3只小鸡才1文钱，为了保证钱数是整数，那么母鸡换成小鸡的只数应是3的倍数。

我们先用3只小鸡算算。3只母鸡换成3只小鸡，钱数少3×3-1=8（文），这需要用公鸡来“移补”，每只公鸡比每只母鸡多5-3=2（文），因此换3只小鸡，就要同时换8÷2=4（只）公鸡。即少买3+4=7（只）母鸡，就要多买4只公鸡和3只小鸡。

5、寻找一组答案

那么怎样先找出一组答案呢？中国古人解题多展现“智巧”，不像现代人常用具有“通解”功能的方程。

“百鸡问题”给定的数据非常巧妙，那就是：母鸡每只值3 文钱，而3 只小鸡值1 文钱。

如果假定公鸡的只数为0，那么此题变为：用100 文钱买100 只鸡，母鸡每只值3 文钱，而3 只小鸡值1 文钱。母鸡、小鸡各有多少只？这与“百僧问题”多么相似：一百馒头一百僧，大僧三个更无争，小僧三人分一个，大小和尚各几人？

这样既可以用假设置换法，又可以用分组求解法。一组答案为：母鸡25只，小鸡75只，（公鸡0只）。这组答案虽显勉强，但再根据“如果少买7只母鸡，就可多买4只公鸡和3只小鸡”便可求出本题的三组标准答案。