两位数乘法速算一般性算理探究
河南省太康县城关镇建南小学(461400)师亚军
笔者注:近期,我校开展小学生计算能力大赛,重观“首同尾合十”、“尾同首合十”、“十几乘十几”和“几十一乘几十一”等速算方法,细探算理,发现它们竟然可以统一在一个口诀之下,“欣欣然,张开了眼”,心中豁然开朗,喜作此文。
再注:笔者曾在2011年第5期的《中小学数学》(小学版)上撰文《小学数学应用题的“通解”》,文中涉及到“统一思想”和“统一理论”,希望此次“统一”和“推广”能让全国的小学师生“喜用”速算方法。
计算分属数学“四基”(基础知识、基本技能、基本思想、基本活动经验)中的“基本技能”, 提高计算能力是解决问题的必要准备,也是小学数学教学着力训练的科目。
2011年版的《数学课程标准》在“知识技能”上对“数的运算”提出的目标是:体会四则运算的意义,掌握必要的运算技能,能准确进行运算;在具体情境中,能选择适当的单位进行简单的估算……探索并了解运算律,会应用运算律进行一些简便运算;经历与他人交流各自算法的过程,并能表达自己的想法……
太康县城关镇建南小学计算能力大赛要求:准确、快速地计算;选择恰当的算法,自觉简算。
两位数乘两位数,无论是在社会生活中,还是在数学解题中,运用都极其广泛,探究其速算方法和规律是小学数学教师开展教研活动的重要内容。
一、一般算理
设两位数(10a+b)和(10c+d),其中a、b、c、d都是1-9的数字,那么
(10a+b)(10c+d)=100ac+10(ad+bc)+bd
由此可见,两位数乘两位数的速算方法是:十位数字相乘占百位,个位数字相乘占个位,十位数字与个位数字交叉相乘占十位。特别注意“错位相加”,即满几十,要向前一位进几。
用一句口诀可以概括为:头乘头,尾乘尾,交叉相乘作十位。
下面以若干例题为样,谈谈这个“两位数乘两位数速算口诀”的具体应用。
例1.32×46=?
速算方法 |
对位原则(错位相加) | |||
千位 |
百位 |
十位 |
个位 | |
3×4=12 |
1 |
2 |
|
|
3×6+2×4=26 |
|
2 |
6 |
|
2×6=12 |
|
|
1 |
2 |
32×46=1472 |
1 |
4 |
7 |
2 |
例2. 24×57=?
速算方法 |
对位原则(错位相加) | |||
千位 |
百位 |
十位 |
个位 | |
2×5=10 |
1 |
0 |
|
|
2×7+4×5=34 |
|
3 |
4 |
|
4×7=28 |
|
|
2 |
8 |
24×57=1368 |
1 |
3 |
6 |
8 |
例3. 42×34=?
速算方法 |
对位原则(错位相加) | |||
千位 |
百位 |
十位 |
个位 | |
4×3=12 |
1 |
2 |
|
|
4×4+2×3=22 |
|
2 |
2 |
|
2×4=8 |
|
|
0 |
8 |
42×34= |
1 |
4 |
2 |
8 |
二、特例简化
“头乘头,尾乘尾,交叉相乘作十位”这个口诀适用所有的两位数乘两位数,但对一些特例可以进一步简化,使它更加简便易用。
1、头同或尾同
(10a+b)(10c+d)=100ac+10(ad+bc)+bd,如果a=c,或b=d时,那么
(10a+b)(10a+d)=100aa+10a(d+b)+bd
(10a+b)(10c+b)=100ac+10b(a+c)+bb
即“交叉相乘作十位”时,可以简化为:不同相加乘相同。
例4. 34×35=?
速算方法 |
对位原则(错位相加) | |||
千位 |
百位 |
十位 |
个位 | |
3×3=9 |
|
9 |
|
|
(4+5)×3=27 |
|
2 |
7 |
|
4×5=20 |
|
|
2 |
0 |
34×35=1190 |
1 |
1 |
9 |
0 |
例5. 24×54=?
速算方法 |
对位原则(错位相加) | |||
千位 |
百位 |
十位 |
个位 | |
2×5=10 |
1 |
0 |
|
|
(2+5)×4=28 |
|
2 |
8 |
|
4×4=16 |
|
|
1 |
6 |
24×54=1296 |
1 |
2 |
9 |
6 |
2、十几乘十几或几十一乘几十一
(10a+b)(10c+d)=100ac+10(ad+bc)+bd,如果a=c=1,或b=d=1时,那么
(10+b)(10+d)=100+10(d+b)+bd=10(10+b+d)+bd
(10a+1)(10c+1)=100ac+10(a+c)+1
即“交叉相乘作十位”时,可以简化为:不同相加作十位。
例6. 12×16=?
速算方法 |
对位原则(错位相加) | |||
千位 |
百位 |
十位 |
个位 | |
1×1= |
|
1 |
|
|
2+6=8 |
|
|
8 |
|
2×6=12= |
|
|
1 |
2 |
12×16=192 |
|
1 |
9 |
2 |
十几乘十几也可以这样简算:一数加另一数的个位数字占十位,尾乘尾占个位。
速算方法 |
对位原则(错位相加) | |||
千位 |
百位 |
十位 |
个位 | |
12+6=18 或16+2=18 |
|
1 |
8 |
|
2×6=12 |
|
|
1 |
2 |
12×16=192 |
|
1 |
9 |
2 |
例7. 31×51=?
速算方法 |
对位原则(错位相加) | |||
千位 |
百位 |
十位 |
个位 | |
3×5=15 |
1 |
5 |
|
|
3+5=8 |
|
|
8 |
|
1×1=1 |
|
|
|
1 |
31×51=1581 |
1 |
5 |
8 |
1 |
3、尾同首合十
(10a+b)(10c+d)=100ac+10(ad+bc)+bd,如果a+c=10,b=d时,那么
(10a+b)(10c+b)=100ac+10b(a+c)+bb
=100ac+100b+bb
=100(ac+b)+bb
即,“交叉相乘作十位”与“头乘头”合并为:“头头相乘加相同”占百位,
例8.47×67=?
速算方法 |
对位原则(错位相加) | |||
千位 |
百位 |
十位 |
个位 | |
4×6+7=31 |
3 |
1 |
|
|
7×7=49 |
|
|
4 |
9 |
47×67=3149 |
3 |
1 |
4 |
9 |
4、首同尾合十
(10a+b)(10c+d)=100ac+10(ad+bc)+bd,如果a=c,b+d=10时,那么
(10a+b)(10a+d)=100aa+10a(d+b)+bd
=100aa+100a+bd
=100(aa+a)+bd
=100a(a+1)+bd
即“头头相乘加相同”占百位简化为“头乘(头+1)”占百位。
例9. 32×38=?
速算方法 |
对位原则(错位相加) | |||
千位 |
百位 |
十位 |
个位 | |
3×3+3=12 |
1 |
2 |
|
|
2×8=16 |
|
|
1 |
6 |
32×38=1216 |
1 |
2 |
1 |
6 |
此题可以简化为:
速算方法 |
对位原则(错位相加) | |||
千位 |
百位 |
十位 |
个位 | |
3×(3+1)=12 |
1 |
2 |
|
|
2×8=16 |
|
|
1 |
6 |
32×38=1216 |
1 |
2 |
1 |
6 |
5、一数互补,一数数字相同
(10a+b)(10c+d)=100ac+10(ad+bc)+bd,如果a=b,或c+d=10时,那么
(10a+a)(10c+d)=100ac+10a(c+d)+ad
=100ac+100a+ad
=100(ac+a)+ad
=100a(c+1)+ad
这与“首同尾合十”类似。
例10. 44×28=?
速算方法 |
对位原则(错位相加) | |||
千位 |
百位 |
十位 |
个位 | |
4×(2+1)=12 |
1 |
2 |
|
|
4×8=32 |
|
|
3 |
2 |
44×28=1232 |
1 |
2 |
3 |
2 |
练习:用速算法计算下面各题。
36×32= 42×46= 54×23=
26×27= 43×45= 56×54=
18×16= 21×61= 34×74=
33×46= 45×45= 46×34=