解题研究：小问题 大学问

作者简介：师亚军、男、汉族、1967年10月出生，中国教育学会数学教育研究发展中心会员、奥林匹克教练员，省学术技术带头人、市骨干教师，河南省教师教育专家、太康县城关镇建南小学业务校长，《学习指导》特约主编，曾在《中小学数学》、《小学数学教师》、《小学教学研究》、《小学生报》、《小学生学习报》等刊物发表数学类文章三百多篇。

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解题研究

小问题 大学问

河南省太康县城关镇建南小学（461400） 师亚军

一年级数学教研组的老师与我探讨这样一个问题：

把1、2、3、4、5、6、7、8八个数字填入下面四个算式，使等式成立，每个数字只准使用一次。

（  ）+（  ）=9 ----①

（  ）－（  ）=1 ----②

（  ）+（  ）=7 ----③

（  ）－（  ）=2 ----④

经过几次试算，没有找到答案。细细琢磨，发现竟然是无解。而这样一个简单的数学题，若要确定无解和揭秘无解，以及再证无解，则需要“排列组合”、“奇偶分析”和“包含排除”等知识和策略。这真是“小问题，大学问”呀！

一、排列组合，确定无解

式①有4种可能：1+8=9、2+7=9、3+6=9、4+5=9；

式②有７种可能：2-1=1、3-2=1、4-3=1、5-4=1、6-5=1、7-6=1、8-7=1；

式③有３种可能：1+6=7、2+5=7、3+4=7；

式④有6种可能：3-1=2、4-2=2、5-3=2、6-4=2、7-5=2、8-6=2.

若式③选1+6=7，则式①只能选2+7=9或4+5=9两种情况。若式①选2+7=9，则剩余3、4、5、8四个数字，而8与3、与4、与5都无法组成差是1或2的算式。若式①再选4+5=9，则剩余2、3、7、8四个数字，而它们无法组成差是2的算式。由此断定，式③选1+6=7不可行。

若式③选2+5=7，则式①只能选1+8=9或3+6=9两种情况。若式①选3+6=9，则剩余1、4、7、8四个数字，而1与4、与7、与8都无法组成差是1或2的算式。若式①再选1+8=9，则剩余3、4、6、7四个数字，而它们无法同时组成差是1、差是2的两个算式。由此断定，式③选2+5=7也不可行。

若式③选3+4=7，则式①只能选1+8=9或2+7=9两种情况。若式①选2+7=9，则剩余1、5、6、8四个数字，而1与5、与6、与8都无法组成差是1或2的算式。若式①再选1+8=9，则剩余2、5、6、7四个数字，而2与5、与6、与7都无法组成差是1或2的算式。由此断定，式③选3+4=7也不可行。

因为式③既不能选1+6=7，也不能选2+5=7，又不能选3+4=7，故知此题无解。

二、奇偶分析，揭秘无解

由奇偶性可知：式①、式②和式③，每个算式只能一个奇数、一个偶数。即：要满足式①、式②和式③必须有3个奇数和3个偶数。

而式④，要么是两个奇数，要么是两个偶数。

因此，要同时满足式①、式②、式③和式④，则必须有5个奇数3个偶数或者3个奇数5个偶数。

而1、2、3、4、5、6、7、8八个数字，只有4个奇数4个偶数，故知此题确定无解。

三、包含排除，再证无解

将式①、式②、式③和式④左右分别相加。

（ ）+（ ）+（ ）+（ ）+（ ）+（ ）－（ ）－（ ）=9+1+7+2

先包含，再排除。把两个减数包含在1-8中，再减去它们和的2倍。即1+2+3+4+5+6+7+8－2[(  )+(  )]=19

因为1+2+3+4+5+6+7+8=36，故知这两个减数和的2倍等于36-19=17.

在1-8中，没有哪两个数和的2倍等于17.

因此，再证此题无解。